Иван Кульбаков начал карьеру в белорусском Гомеле. Выступая за «Гомель-2», участвовал в юношеском (U18) чемпионате мира. В 19 лет хоккеист попал в команду U20 и, проявив себя, отправился в Северную Америку. Там он выступал за «Янгстаун» Хоккейной лиги США, «Кливленд» Американской хоккейной лиги и чаще всего за «Куод-Сити» Хоккейная лиги Восточного побережья.
В сезоне 2018/19 вратарь играл в клубах «Ютика Кометс» (АХЛ), «Каламаза Уингз», а также провел два матча на чемпионате мира в составе национальной сборной Белоруссии.Иван Кульбаков пополнил состав московского «Динамо» в октябре 2021 года и провел всего один матч. Хоккейный Клуб «Динамо» Москва благодарит Ивана за работу и желает удачи в дальнейшей карьере!